微分法・積分法領域の研究

�@　不等式の証明とマクローリン展開との関係について

教科書や大学入試では、次のような不等式の証明問題が出てきます。 　証明すべきこれらの不等式がどのようにして作成されたものか、先生方は疑問に感じられたことはないでしょうか。 　出題の背景にある理論を知ることは、問題を把握し、余裕をもって指導するために大変重要なことだと思われます。 　ここでは、不等式の証明とマクローリン展開との関係について紹介します。 　実は、このような不等式の証明問題の根底には、次の公式があります。 　平均値の定理 　この定理は、 　とも表現できます。この平均値の定理から、次の定理が導かれます。 　 ロルの定理 　このとき、ロルの定理を利用して、次の�Aが証明できます。 �Aは、平均値の定理から派生したものですが、この考え方をｎ次導関数まで拡張したものが、 次の定理になります。 　 このように、微分法を用いた不等式の証明問題の多くは、平均値の定理から導かれるテーラーの定理、 マクローリンの定理を基に作成されています。